同学们好，著名数学家毕达哥拉斯说过这样一句话，在数学的天地里，重要的不是你知道什么，而是你们是怎么知道的。希望同学们带着对这句话的理解，一起开启今天的数学之旅。今天老师带来一个实际问题，在两条相交的道路之间有两村庄，现要在村庄的附近建一个水塔，要求水塔到两村庄的距离相等，并且还要到两条马路的距离也相等，那么这个水塔应该建在什么位置呢？下面我们一。

一起来将这个生活问题抽象成为数学问题，也就是指在角mon的内部要找一个点，使得这个点到角两边OM和on边的距离相等，并且到点a和点B的距离也要相等。那么这个点应该建在哪里呢？同学们带着对这个问题，那么我们一起开启今天的数学学习，叫平分线的性质，下面请同学们拿出学具角AOB的纸片。

如果老师将其两边对折使其重合，那么请同学们观察老师中间这一条折痕应该是这个角的什么线啊？哦，对了，是角平分线，同学们对知识都掌握的很好，那么接下来请同学们再看，那么现在重合之后，我们呢？再将其纸片折叠17.o，注意了，是落在边OA上，千万不要落在折痕上了啊，接下来我们再将其展开，于是得到了这两条折痕。那么请同学们量一量这两条折痕以及这两条折痕与边所形成的度数是多少呢？下面请同学们小组合作讨论开始。

好的时间到，由哪一小组来分享你们这一组的成果好？

请第三小组好，你来说说你们这一组发现了什么哦，你发现了这两条折痕的长度相等，诶，你还发现了什么呀？这两条折痕与边所形成的度数是多少呢？哦，你发现的是90度，好，再请一个小组，好，请第五小组，哦，你们这一小组发现的跟第三小组相同，那么下面我们一起来看这两条折痕。那么老师用PD和PE来表示那么同也就是指点P到角两边的距离，那么同学们发现PD和P相等，并且这两条折痕与角所形成的度数也是90度。那么由此我们可以做出什么样的猜测呀？哦，角平分线上的点。

到角两边的距离相等。那么，这一猜测是正确的吗？下面我们一起来验证。老师用几何画板任意做了一个角AOB，下面我们先找到它的角平分线OC，然后呢，老师在OC上任取了一个点点P，接下来向过点P向两边做垂线，请同学们观察PD和PE的长度。此时它们长度相等。好，下面老师改变点P的位置，请同学们认真观察，看一看它们的长度还会相等吗？依旧相等。还是相等。那么也就是说，不管点P在什么位。

垂直的时候始终都有PD和PE相等。好，下面老师再来改变角AOB的度数。请同学们再次仔细观察。同学们发现了什么？哎，对了，不管是点P在OC上的什么位置，还是说角AOB的度数，对，不管是什么角度，我们都发现了PD和PE相等，那么通过几何画板也就验证了我们这一猜想是正确的。那么数学呢？还需要严谨的逻辑证明，下面我们一起来证明。好，请同学们证明PD等于PE。好，现在开始思考。好的，有谁来分享一下你的想法，好，这一位男孩子请你来。

哦，你来说说你的想法。诶，要证明线段PD和P相等，哎，在我们学过的知识当中，我们想到用三角形全等，那么我们在这一个图图当中，我们可以证明哪两个三角形全等呢？哎，对了，三角形p do和三角形peo，那你能找到让三角形全等的三个条件吗？哦，你找到了一组直角。那还有吗？哦，还有一组这两个小角，那题目当中信息就找完了吗。诶，聪明的同学立马就发现了，我们还有一组公共边，op等于op，好，那么也就是说三角形三个条件使得他们全等，我们都已经找到了，那我们一起来看。

你能把证明过程写出来吗？好，下面我们一起来看。首先我们证明了这两个角为90度，然后再用什么定理啊，对了，三角形当中判定他们全等的a as，证明这两个三角形全等，从而得到了PD等于PE。那么通过证明，我们就得到了我们的猜想是正确的。那么下面请同学们看，如果老师用几何语言表示出来的话，要得到PD等于PE1，它需要几个条件呢？哦，我们来找一找。第一个条件是点P要在角平分线上。

还有吗？哦，同学们发现了，还有两个垂直，也就是指PD要垂直OA，还有P要垂直OB，这三个条件缺一不可，必须同时满足它才可以得到我们的结论是PD等于PE，因此老师方便同学记忆，老师用口诀三得一三条件一结论一平分，两垂直得相等。好，下面我们一起来利用这个性质定理。求点D到AB边的距离。

同学们，距离我们应该要做对了，做垂线好，那么我们做垂线，那么de的长度是多少呢？哎，根据我们的一平分两垂直得相等，可以知道de的长度为四，好的，做对的同学请举手好表扬你们，那么这是角平分线的性质定理，同学们你能改写成如果那么的形式吗？好，谁来试一试？好，这位女孩子，你来试一试。如果引导的是条件，如果有这么一个点，它在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。这是我们将性质定理改写成了如果那么的形式。哎，同学们，你能找到它的逆定理吗？哦，交换。

对，交换一下，好，下面老师将条件和结论交换了，有没有要补充的？对了，这个点是在这个角的内部，由此我们要加上角的内部。那么这个逆命题，它是真命题还是假命题呢？下面我们一起来探究一下。那么能否证明点P在角AOB的平分线上呢？同学们想一想。如果我们要对要证明点P在角AOB的平分线上，那么我们就需要证明这两个小角相等。那么同学们有没有办法证明这两个小角相等呢？哦，利用三角形的全等，那么三角形全等必须要找三个条件，好，那我们一起来找一找，有没有这三个条件呢？

已知两个直角，还有呢哦，还有已知的边PD和PE。没有了。没有了，哎，请同学们仔细看图，我们还发现了，对了，有一组公共边，这就是我们直角三角形当中特殊的判定定理是什么呀？对了，HL，那么同学们可以写出证明过程了吗？好的，请同学们拿出笔纸试一试。好，下面我们一起来看证明过程。那么在证明时，同学们一定要注意了，因为我们用的定理是斜边和直角边定理，所以我们一定要注明这是一两个直角三角形才能用，因为这是直角三角形特有的判定定理。好，那么通过证明明我们得到了点。

P是在角平分线上，也就是说它的逆命题是真命题，同学们，你们真棒，下面我们一起把这个逆命题对，把它表示出来好。那么这一个判定逆命题我们也可以称作是角平分线的判定定理，用几何语言可以表示为。好，请同学们认真思考。同样，老师也要提出一个问题了，那么这个逆命题它需要满足几个条件呢？同学们观察。哦，也是要满足三个条件。对了，两个垂直必须有，还有一个相等，PD等于P，并且还要有PD垂直OA以及。

PE垂直OB也是三个条件，必须同时满足我们才可以得到，得到什么呀？点P在角平分线上，那么也可以用口诀三得一来表示一项的两垂直得平分。好的，下面我们一起来看例题，请同学们思考。那么要证明点B在这个角平分线上，同学们看黑板我们用什么对逆定理需要几个条件啊，三个条件对不对？来摆出来，三个条件有没有找一找哎，我们要利用这个逆定理来去判断，那么我们要过点B向两边引垂线，好看一下这两个条件符合了没有。

有了两垂直，有了还差一个什么呀，还差一个相等，那么这个相等题目当中有没有告诉我们呢？没有怎么办？做不出来了吗？想一想。角一等于角二，它告诉你了吧，这是一个隐藏的条件，那么角e等于角二，其实就是告诉我们什么呀，告诉我们AB等于BC等角对等边，那么三个条件都有了，能不能写出来。能是吧，很好，好，下面请同学们一起来看证明过程。看啊，三个条件缺一不可，必须同时具备。好，下面老师再来考考大家。第二问，你会吗？要证明它平分这个角，那么也就是要证明这两个小角相等。那么老师用角三和角四来表示。同学们，你看，要这。

证明角三等于角四，你能够怎么办？哦，对，证明三角形全等，那么是这两个小三角形还是这两个大三角形？你去找一找条件好吗？这两个小的，诶，我们只能找到一个条件，两个条件，那么诶，我们发现这个大三角形，也就是这个直角三角形，我们可以找到有有什么呀，AB等于BC，还有一组公共边，同样也是用HL的判定定理证明这两大的直角三角形全等，从而得到角三等于角四。好的，下面我们一起来看辨识训练，要得到AB等于AC，根据我们之前的知识是什么呀？要得到这两个直线段所在的大三角形全等，你们找一找，找得到条件吗？

我发现它缺少条件，我们只可以找到一组角和一条公和一条公共边，还有已知的一条边，请问这个判定定理同学们你们学过吗？这个两条边一个角的，哦，没有，那肯定是不行的是吧？那么我们就来换一种思路，那我可以对了，刚刚说了等角对等边的方法对不对？那我可以证明什么呀？证明这两个小角角B和角C相等，也就是转化为了证明这两个小的三角形全等，同学们，这个可就难不倒你们了吧，来动手试一试。哦，解出来了是吗？哦，找到了条件，来，我们一起来看看，首先两个直角摆在这里，那么还有什么呀？哦，还有两。

条已知的边没有了怎么办？再找呗，怎么找啊？对了，角平分线的性质定理，用起来de和DF相等理由对了它的性质定理，好，下面我们一起来看证明过程。好了。OK，那么也是用的HL。好的，下面我们再来解决我们刚刚的问题，那么这个点要到这两边的距离相等，你们想一想这个点会在哪里？对，肯定会在角平分线上，并且要到点a和点B的距离也相等，那是什么呀？点对到两到两，两个点的距离相等，我们要要找什么？哦，对了，说的很好，垂直平分线下面我们一起来画。首先，以点o为圆心画弧。

那么接下来，诶，对了，上节课我们已经学习过了这个角平分线的画法，那么老师这里就演示一遍，好，接下来我们还要找它们的垂直平分线，那么同样用圆规。那么接下来，那么这个交点就是指谁的位置啊，对了，水塔的位置就是我们今天要找的这个点，好的，下面我们一起来回顾本堂课的内容，我们学了什么知识啊，看黑板上面这个是什么呀？对了，性质定理。还学了什么呀，逆定理，逆定理呢，我们也可以称之为判定定理。好，那么我们可以用一个表格的形式来表示。

那么这样子就很很明白了条件和结论，好，那么今天的作业就是希望同学们认真的去完成，因为只有这样我们才能够在数学的海洋里遨游，好，谢谢大家。好，各位评委好，以下是我对这一节课的认识。我将从以下六个方面来阐述我的理解，首先教材分析本节课是湘教版八年级下册第一章角平分线的性质的第一课时，那么角平分线性质的探索和证明呢？它蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，那么是培养学生具有良好思维品质的载体，在他在数学发展的过程当中起着非常重要的作用，那么同时这一节课在整个。

这个教学当中，它也起着承上启下的作用，它是已经学生在掌握了角平分线的定义以及做法的前提下进行来学习的，所以我在上课的时候，那么我在这个做法上面啊，我就没有过多的去强强调了。那么同时也为线段相等开辟了新的思路，并且为以后对这个圆的学习进行了准备，那么在这一节课当中，我是一直在强调三角形全等啊，然后得到这些线段相等啊，或者得到这个角相等啊，让学生们去证明，那么根据学生的情况啊，我这里做出了学情分析，知识基础是本节课学生已经学习了定义啊，以及全等三角形的性质和判定。所以本节课的教学来说的话，相对来说还是比较容易的。但是学生他有一个负。

迁移的影响，他比较全部喜欢去用全等三角形的办法去找这个，去突破这个问题，那所以我在讲这个逆定理的时候，我就是强调要让他们去用三得一的口诀去找，就是点P在角平分向上，要得到这么一个结论，我必须要得到什么呀？我必须要用这三个第三三个条件去找，所以当然我在课上的时候，我应该还要继续强调，其实你们也可以用三角形全等去证明，但是你会发现三角形全等的方法并没有这个直接使用更加方便，更加简洁。根据我对教材的理解和认识，我制定了以下四维教学目标是知识与技能、数学思考、解决问题以及情感态度与价值观。那么通过这一系列的探索，呃，这个探究让学生体验到数学活动充满着。

探索性和创造性，并且增强了学生对学习数学的信心，以及让他们去克服问题的这个勇气，那么我在课上的时候，呃，我在上课我会让学生多回答问题，那么让他们总是去找这个三角形全等的这几个办法就是重复性的让他们去找，那么这个我就会让中等生和相对落后的学生去来找这个问，找这个条件，那么他们就会比较有信心。那么我在真正的教学展示的时候呢，我会拿这个稍微写的好一点的这些证明过程呢，去到展台上面来展示，那么回答问题，我就让这些基础较差的学生那么展示，我就拿相对来说是中等偏上的学生来展示。根据呃，我对教材的这个认识，那么我制定了以下重点和难点。主要还是角平分线的性质探究。好。

那么我对本节课执教的方法主要有情境创设法，例如去找这个水塔的位置啊，或者引导他们去找这个水草，并且去画，当然了，也用了假面结合法。那么学生在学习这一课时的时候，我让他们多的去小组讨论啊，并且问题讨论，那么这就是呃，我用的这个学法有自主探究法。下面我们来看具体的教学过程，情境导入，这个导入其实我是想了很久的，呃，因为这个是相对来说可能会难一点，这个导入因为他既要找这个角平分线，嗯，还要找这个垂直平分线，可能学生的思维可能没有这么快反应过来，但是呢，我就是要他们啊，这次真的是实际生活中的问题，我要让他们告诉他们，数学是来源于生活，并且应用于生活，你们要学会用数学所学到的知识去解决。

我们生活中的实际问题，并且我会试着让他们找一找啊，说一说啊，然后激发他们对学习的兴趣。接下来这是我本节课的探索过程，那么这个呢，其实也是突破重点和突破难点的关键所在，那么本节课啊，嗯，我看到很多常规课他都是用去测量啊，就是量，或者说去做这个垂垂线，然后去测量这个垂线，但是我进行了一些改变，因为我认为啊，去做这个垂线可能相对来说会比较麻烦一些，但是我用折的方法是指告诉他们用这个这个点去跟边重合，那么跟边重合的时候，它其实就已经形成了一个垂线，那么我在使用数学学科软件让他们去探索，那么这个环节啊，其实我是真正上课的时候，我是让学生来这个拖动这个点P，并且让学生来移动这个脚的大小。

那么这样子我就能够很好的解决本节课的难点，也能够突破本节课的重难点，那么这个呢，这个就是一个让学生啊去用逆命题的方式去得到它的这个逆定理，我引导了学生，我说如果引导的是条件，那么引导的是结论，并且如果和那么交换的话，就得到了它的逆定力，所以很多学生都能够说出来这一个是没有问题的，那么并且啊在这里的话，我也对这个旧知识进行了回顾，同样也让学生就是比较感兴趣。那最后在这里是呃，关于这个性质定理和逆定理的一个几何语言和这个呃数学语言这个文字语言，那么我呢，就使用表格的形式，因为我认为可能学生没有那么多的耐心去看这些文字，那么我就让他们把这个表格。

记在本子上记下来，并且每次去做的时候对照表格去找条件，找这个呃，我们要的这些知识点，那么由此我觉得这节课的亮点，最大的亮点就是我使用了三得一的口诀，因为三得一就是指学生很容易出这种顺口溜啊。三得一三个条件，一个结论。好，这是例题教学，例题教学呢，我采用的是书上的例题，因为我认为哦，这个教材的编写肯定是有它的道理的，并且这个教材也是这些这个编者的智慧的结晶，所以我选用的是23页的例题意，并且这两个点，两个问题点都是围绕我今天的这个教学的重点进行进行提问的，由此我通过对例题的讲解和学习，让学生再一步。

去突破重点，突破难点。好，这里是，呃，在例题教学完之后，我就进行了两个训练，第一个是同步训练，这个是比较简单的，这些是学生都能够回答出来的，并且能够快速口算出来的，目的就是为了让进一步让学生巩固性质定理。然后一个是辨识训练，这个是相对来说是有点难度的，并且我让他们在做的时候啊，我先让他们去错误的去做，为什么呢？因为这两个大的三角形它是不会全等的，那么我要告诉他们没有这么一个判定定理，你们不要搞错了，然后于是再引导他们去正确的去求解。最后是问题解决，那么问题解决这一个啊，呃，在课堂教学的时候，其实这个学生是已经学过的，那么那么主要是对他们一个回顾，因为垂直平分线和。

角平分线，我们这个画法我们都已经学过了，并且我要告诉他们，就是通过我们的数学学习是可以解决我们生活中的实际问题的，你要让他们知道数学学习是有用的，不是有句话说嘛，学好数理化，走遍天下都不怕，我就是一直就告诉他们啊，我们要上课要多听。最后是作业布置，现在不是提倡这个双减嘛，所以我作业布置的相对来说还是较较少，同样啊，那么在布置作业的时候也是左思右想，那么就选了这两个习题，那么也是为了打开学生的思路，给学生提供更广阔的空间，从而让学生真正成为学习的主人。最后是我的板书设计，其实我认为板书设计是整堂课的画龙点睛之笔，因为这些知识点可能对于很多差生来说的话，他是不能理解的，又或者说他跟不上老师的节奏，但是板书就很好的做到了这么一点。

提醒他，老师讲到这了，提醒他我要做笔记了，并且一节课写学完下来，他能够知道哦，我讲的这几个知识点，学生也很能能够清楚的知道性质定理是什么，逆定理是什么，三得一，由此让学生跟上老师的课堂节奏，也让学生更好的掌握重难点，好，谢谢。那么教育之路啊，任重而道远。